四色定理原证:在平面地图上,给任意区间涂色,为使相邻区间异色,最少需4种颜色。

或证:在同一平面内,最多只可能使4个区间两两相邻。 或证:在同一平面内,不可能有5个区间两两相邻。

两两相邻的情况 或证:在同一平面内取5点，若用线使5个顶点两两相连，则必有线与其它线相交于非顶点。