机器学习笔记之高斯网络——高斯贝叶斯网络

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  • • 高斯网络
    • 贝叶斯网络：因子分解
  • 高斯贝叶斯网络：因子分解

引言

上一节介绍了高斯网络及其条件独立性，本节将介绍高斯贝叶斯网络。

回顾

高斯网络

高斯网络最核心的特点是：随机变量集合中的随机变量均是连续型随机变量，并且均服从高斯分布：
已知某随机变量集合X\mathcal XX中包含ppp个特征，整个高斯网络中所有结点的联合概率分布服从多元高斯分布：
X=(x1,x2,⋯,xp)TP(X)=1(2π)p2∣Σ∣12exp⁡[−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)]\begin{aligned} \mathcal X & = (x_1,x_2,\cdots,x_p)^T \\ \mathcal P(\mathcal X) & = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}} \exp \left[-\frac{1}{2}(x - \mu)^T\Sigma^{-1}(x - \mu)\right] \end{aligned}XP(X)​=(x1​,x2​,⋯,xp​)T=(2π)2p​∣Σ∣21​1​exp[−21​(x−μ)TΣ−1(x−μ)]​
其中期望μ\muμ，协方差矩阵Σ\SigmaΣ表示如下：
μ=(μ1μ2⋮μp)p×1σ=(σ11,σ12,⋯,σ1pσ21,σ22,⋯,σ2p⋮σp1,σp2,⋯,σpp)p×p\mu = \begin{pmatrix} \mu_1\\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_p \end{pmatrix}_{p \times 1} \quad \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{11},\sigma_{12},\cdots,\sigma_{1p} \\ \sigma_{21},\sigma_{22},\cdots,\sigma_{2p} \\ \vdots \\ \sigma_{p1},\sigma_{p2},\cdots,\sigma_{pp} \\ \end{pmatrix}_{p \times p}μ=⎝⎜⎜⎜⎛​μ1​μ2​⋮μp​​⎠⎟⎟⎟⎞​p×1​σ=⎝⎜⎜⎜⎛​σ11​,σ12​,⋯,σ1p​σ21​,σ22​,⋯,σ2p​⋮σp1​,σp2​,⋯,σpp​​⎠⎟⎟⎟⎞​p×p​

• 随机变量之间的边缘独立性：如果随机变量xi,xj(i,j∈{1,2,⋯,p};i≠j)x_i,x_j (i,j \in \{1,2,\cdots,p\};i\neq j)xi​,xj​(i,j∈{1,2,⋯,p};i​=j)对应协方差矩阵的结果Cov(xi,xj)=σij=0Cov(x_i,x_j) = \sigma_{ij} = 0Cov(xi​,xj​)=σij​=0，那么称xi,xjx_i,x_jxi​,xj​是不相关的。也称xi,xjx_i,x_jxi​,xj​边缘独立或者绝对独立：
  σij=0⇒xi⊥xj\sigma_{ij} = 0 \Rightarrow x_i \perp x_jσij​=0⇒xi​⊥xj​
• 随机变量之间的条件独立性：如果随机变量xi,xj(i,j∈{1,2,⋯,p};i≠j)x_i,x_j(i,j \in \{1,2,\cdots,p\};i \neq j)xi​,xj​(i,j∈{1,2,⋯,p};i​=j)对应精度矩阵(Precision Matrix)结果λij=0\lambda_{ij} = 0λij​=0,称给定除去xi,xjx_i,x_jxi​,xj​之外其他结点的条件下，xi,xjx_i,x_jxi​,xj​相互独立：
  其中Λ=[λij]p×p\Lambda = [\lambda_{ij}]_{p \times p}Λ=[λij​]p×p​表示精度矩阵，它是协方差矩阵的‘逆矩阵’。
  λij=0⇒xi⊥xj∣x−i−j\lambda_{ij} = 0 \Rightarrow x_i \perp x_j \mid x_{-i-j}λij​=0⇒xi​⊥xj​∣x−i−j​

贝叶斯网络：因子分解

基于贝叶斯网络有向图的性质，针对随机变量集合X\mathcal XX的联合概率分布P(X)\mathcal P(\mathcal X)P(X)进行表达。
已知随机变量集合X\mathcal XX包含ppp个维度特征，因而X\mathcal XX的联合概率分布P(X)\mathcal P(\mathcal X)P(X)表示如下：
P(X)=P(x1,x2,⋯,xp)\mathcal P(\mathcal X) = \mathcal P(x_1,x_2,\cdots,x_p)P(X)=P(x1​,x2​,⋯,xp​)
针对联合概率分布求解，最朴素的方式是条件概率的链式法则(Chain Rule)：
P(x1,x2,⋯,xp)=P(x1)⋅∏i=2pP(xi∣x1,⋯,xi−1)\mathcal P(x_1,x_2,\cdots,x_p) = \mathcal P(x_1) \cdot \prod_{i=2}^p \mathcal P(x_i \mid x_1,\cdots,x_{i-1})P(x1​,x2​,⋯,xp​)=P(x1​)⋅i=2∏p​P(xi​∣x1​,⋯,xi−1​)
但如果随机变量集合X\mathcal XX维度过高，这种链式法则计算代价很大。可以将对应的概率图模型视作完全图——任意两个特征之间都需要求解其关联关系。
而贝叶斯网络的条件独立性 可以极大程度地简化运算过程。给定贝叶斯网络的表达方式，可以直接写出各节点的联合概率分布：
P(x1,x2,⋯,xp)=∏i=1pP(xi∣xpa(i))\mathcal P(x_1,x_2,\cdots,x_p) = \prod_{i=1}^p \mathcal P(x_i \mid x_{pa(i)})P(x1​,x2​,⋯,xp​)=i=1∏p​P(xi​∣xpa(i)​)
其中xpa(i)x_{pa(i)}xpa(i)​表示xix_ixi​结点的父节点组成的集合。

高斯贝叶斯网络：因子分解

已知贝叶斯网络中一共包含ppp个结点，它的联合概率分布(因子分解)表示如下：
P(X)=∏i=1pP(xi∣xpa(i))\mathcal P(\mathcal X) = \prod_{i=1}^p \mathcal P(x_i \mid x_{pa(i)})P(X)=i=1∏p​P(xi​∣xpa(i)​)

从 全局模型(Global Model) 角度观察，高斯贝叶斯网络是基于线性高斯模型(局部模型(Local Model))的模型架构。

• 局部模型架构：对于线性高斯模型并不陌生，在卡尔曼滤波中对线性高斯模型又了一定认识。

  从宏观角度认识线性高斯模型，即模型中某节点与父结点之间存在线性关系，并且噪声服从高斯分布：
  可以理解为：高斯贝叶斯网络中的‘有向边’表示节点与父节点之间的‘具有高斯分布噪声的线性关系’。
  这里已知X,Y\mathcal X,\mathcal YX,Y是两个随机变量集合，X\mathcal XX的边缘概率分布P(X)\mathcal P(\mathcal X)P(X)和条件概率分布P(Y∣X)\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)P(Y∣X)表示如下：
  {P(X)∼N(μX,ΣX)P(Y∣X)∼N(AX+B,ΣY)\begin{cases} \mathcal P(\mathcal X) \sim \mathcal N(\mu_{\mathcal X},\Sigma_{\mathcal X}) \\ \mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X) \sim \mathcal N(\mathcal A \mathcal X + \mathcal B,\Sigma_{\mathcal Y}) \end{cases}{P(X)∼N(μX​,ΣX​)P(Y∣X)∼N(AX+B,ΣY​)​
  局部模型描述结点之间的关联关系 表示如下：
  
  同理，关于结点Y\mathcal YY的边缘概率分布P(Y)\mathcal P(\mathcal Y)P(Y)以及P(X),P(Y∣X)\mathcal P(\mathcal X),\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal X)P(X),P(Y∣X)的推断结果P(X∣Y)\mathcal P(\mathcal X \mid \mathcal Y)P(X∣Y)同样服从高斯分布。具体结果表示如下：
  推导过程详见：高斯分布——推断任务之边缘概率分布与条件概率分布
  P(Y)∼N(Aμ+B,AΣXAT+ΣY)P(X∣Y)∼N(Σ{ATΣY−1(Y−B)+Aμ},Σ)Σ=ΣX−1+ATΣY−1A−1\begin{aligned} \mathcal P(\mathcal Y) & \sim \mathcal N(\mathcal A \mu + \mathcal B,\mathcal A\Sigma_{\mathcal X}\mathcal A^T + \Sigma_{\mathcal Y}) \\ \mathcal P(\mathcal X \mid \mathcal Y) & \sim \mathcal N(\Sigma\left\{\mathcal A^T\Sigma_{\mathcal Y}^{-1}(\mathcal Y - \mathcal B) + \mathcal A \mu\right\},\Sigma) \quad \Sigma = \Sigma_{\mathcal X}^{-1} + \mathcal A^T \Sigma_{\mathcal Y}^{-1}\mathcal A^{-1} \end{aligned}P(Y)P(X∣Y)​∼N(Aμ+B,AΣX​AT+ΣY​)∼N(Σ{ATΣY−1​(Y−B)+Aμ},Σ)Σ=ΣX−1​+ATΣY−1​A−1​

实际上，卡尔曼滤波(Kalman Filter)自身就是一个特殊的高斯贝叶斯网络。它的概率图模型表示如下：

由于齐次马尔可夫假设、观测独立性假设的约束，概率图中无论是观测变量O={o1,⋯,oT}\mathcal O = \{o_1,\cdots,o_T\}O={o1​,⋯,oT​}还是隐变量I={i1,⋯,iT}\mathcal I = \{i_1,\cdots,i_T\}I={i1​,⋯,iT​}，它们均仅有一个父节点：

• 基于齐次马尔可夫假设，相邻隐变量it,it−1i_t,i_{t-1}it​,it−1​之间的条件概率表示为：
  P(it∣it−1)∼N(A⋅it−1+B,Q)\mathcal P(i_t \mid i_{t-1}) \sim \mathcal N(\mathcal A \cdot i_{t-1} + \mathcal B,\mathcal Q)P(it​∣it−1​)∼N(A⋅it−1​+B,Q)
• 基于观测独立性假设，隐变量iti_tit​与对应时刻观测变量oto_tot​之间的条件概率表示为：
  P(ot∣it)∼N(C⋅it+D,R)\mathcal P(o_t \mid i_t) \sim \mathcal N(\mathcal C\cdot {i_t} + \mathcal D,\mathcal R)P(ot​∣it​)∼N(C⋅it​+D,R)

基于上述假设，对随机变量之间关联关系的表示(Representation)描述为：
之所以将噪声均值设置为0 -> 均值偏差可以归纳到对应偏置项B,D\mathcal B,\mathcal DB,D中。
{it=A⋅it−1+B+ϵϵ∼N(0,Q)ot=C⋅it+D+δδ∼N(0,R)\begin{cases} i_t = \mathcal A \cdot i_{t-1} + \mathcal B + \epsilon \quad \epsilon \sim \mathcal N(0,\mathcal Q) \\ o_t = \mathcal C \cdot i_t + \mathcal D + \delta \quad \delta \sim \mathcal N(0,\mathcal R) \end{cases}{it​=A⋅it−1​+B+ϵϵ∼N(0,Q)ot​=C⋅it​+D+δδ∼N(0,R)​

相比之下，高斯贝叶斯网络并没有假设约束，结点中可能存在多个父节点组成的集合。
给定一个高斯贝叶斯网络的局部图如下：
这里仅讨论xix_ixi​与其父节点们之间的关系，其余部分略掉了。

很明显：x1,x2,⋯,xkx_1,x_2,\cdots,x_kx1​,x2​,⋯,xk​均是xix_ixi​的父节点，将局部模型延伸到一个更大的局部模型。
这里x1,x2,⋯,xkx_1,x_2,\cdots,x_kx1​,x2​,⋯,xk​以及xix_ixi​均是一维随机变量：

• 假设xix_ixi​的父节点集合中仅包含一个随机变量(x1x_1x1​为例)，那么P(xi∣xpa(i))\mathcal P(x_{i} \mid x_{pa(i)})P(xi​∣xpa(i)​)可表示为：
  P(xi∣xpa(i))→P(xi∣x1)∼N(wi1⋅x1,σi2)\mathcal P(x_{i} \mid x_{pa(i)}) \to \mathcal P(x_i \mid x_1) \sim \mathcal N(w_{i1} \cdot x_1,\sigma_{i}^2)P(xi​∣xpa(i)​)→P(xi​∣x1​)∼N(wi1​⋅x1​,σi2​)
  对应xi,x1x_i,x_1xi​,x1​随机变量之间关联关系的表示 为：
  xi=μi+wi1⋅(x1−μ1)+σi⋅ϵiϵ∼N(0,1)x_i = \mu_i + w_{i1} \cdot (x_1 - \mu_1) + \sigma_{i}\cdot \epsilon_i \quad \epsilon \sim \mathcal N(0,1)xi​=μi​+wi1​⋅(x1​−μ1​)+σi​⋅ϵi​ϵ∼N(0,1)
  关于上述公式的一些个人理解：

  • 多出来的μi,μ1\mu_i,\mu_1μi​,μ1​是哪来的：为了简化运算，通常对‘随机变量的分布’进行平移’，就是去中心化。因而上述式子可以表示为：
    xi−μi=wi1⋅(x1−μ1)+σi⋅ϵix_i - \mu_i = w_{i1} \cdot (x_1 - \mu_1) + \sigma_i \cdot \epsilon_{i}xi​−μi​=wi1​⋅(x1​−μ1​)+σi​⋅ϵi​
  • 执行线性运算之后，方差必然会发生变化。应变化为wi12⋅σi2w_{i1}^2 \cdot \sigma_i^2wi12​⋅σi2​,但是P(xi∣x1)\mathcal P(x_i \mid x_1)P(xi​∣x1​)并没有变化,依旧是σi2\sigma_i^2σi2​：方差变化是xix_ixi​的边缘概率分布P(xi)\mathcal P(x_i)P(xi​),而不是P(xi∣x1)\mathcal P(x_i \mid x_1)P(xi​∣x1​),这也是线性高斯模型的假设方式。
  • 偏置项去哪了：最终都需要‘去中心化’，将分布的均值(中心)回归零点，因而被省略掉了，或者也可理解为‘合并到’μi\mu_iμi​中。

  欢迎小伙伴们交流讨论。

• 同理，父结点集合中包含多个随机变量，将父结点集合看成向量形式，因而xpa(i)x_{pa(i)}xpa(i)​以及对应权重信息Wi\mathcal W_iWi​表示如下：
  xpa(i)=(x1,x2,⋯,xk)k×1TWi=(wi1,wi2,⋯,wik)k×1T\begin{aligned} x_{pa(i)} = (x_1,x_2,\cdots,x_k)_{k \times 1}^T \\ \mathcal W_i = (w_{i1},w_{i2},\cdots,w_{ik})_{k \times 1}^T \end{aligned}xpa(i)​=(x1​,x2​,⋯,xk​)k×1T​Wi​=(wi1​,wi2​,⋯,wik​)k×1T​​
  至此，P(xi∣xpa(i))\mathcal P(x_i \mid x_{pa(i)})P(xi​∣xpa(i)​)表示如下：
  P(xi∣xpa(i))=N(WiTxpa(i),σi2)=N(x1⋅wi1+⋯+xk⋅wik,σi2)\begin{aligned} \mathcal P(x_i \mid x_{pa(i)}) & = \mathcal N(\mathcal W_i^T x_{pa(i)},\sigma_i^2) \\ & = \mathcal N(x_1 \cdot w_{i1} + \cdots + x_k \cdot w_{ik},\sigma_i^2) \end{aligned}P(xi​∣xpa(i)​)​=N(WiT​xpa(i)​,σi2​)=N(x1​⋅wi1​+⋯+xk​⋅wik​,σi2​)​
  因而xi,xpa(i)x_i,x_{pa(i)}xi​,xpa(i)​随机变量之间的关联关系表示为：
  xi−μi=WiT(xpa(i)−μpa(i))+σi⋅ϵi=(wi1,wi2,⋯,wik)1×k[(x1x2⋮xk)−(μ1μ2⋮μk)]k×1+σi⋅ϵi=∑j∈xpa(i)wij(xj−μj)+σi⋅ϵi\begin{aligned} x_i - \mu_i & = \mathcal W_i^T (x_{pa(i)} - \mu_{pa(i)}) + \sigma_i \cdot \epsilon_i \\ & = \begin{pmatrix}w_{i1},w_{i2},\cdots,w_{ik}\end{pmatrix}_{1 \times k} \left[\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_k \end{pmatrix}\right]_{k \times 1} + \sigma_i \cdot \epsilon_i\\ & = \sum_{j \in x_{pa(i)}} w_{ij}(x_j - \mu_j) + \sigma_i \cdot \epsilon_i \end{aligned}xi​−μi​​=WiT​(xpa(i)​−μpa(i)​)+σi​⋅ϵi​=(wi1​,wi2​,⋯,wik​​)1×k​⎣⎢⎢⎢⎡​⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xk​​⎠⎟⎟⎟⎞​−⎝⎜⎜⎜⎛​μ1​μ2​⋮μk​​⎠⎟⎟⎟⎞​⎦⎥⎥⎥⎤​k×1​+σi​⋅ϵi​=j∈xpa(i)​∑​wij​(xj​−μj​)+σi​⋅ϵi​​

下一节将介绍：高斯马尔可夫随机场。

相关参考：
机器学习-高斯网络(2)-高斯贝叶斯网络