随机分析 || 鞅不等式 —— Doob不等式、BDG不等式、指数鞅不等式[通俗易懂]-鞅不等式极小值

随机分析 || 鞅不等式 —— Doob不等式、BDG不等式、指数鞅不等式[通俗易懂]1鞅2Doob不等式（极大不等式）设k≥1k\geq1k≥1，(Xn)n≤k(X_n)_{n\leqk}(Xn​)n≤k​为一鞅或非负下鞅，对任何λ>0\lambda>0λ>0及p≥1p\geq1p≥1有P(sup⁡n≤k∣Xn∣≥λ)≤λ−pE(∣Xk∣p).P(\sup_{n\leqk}|X_n|\geq\lambda)\leq\lambda^{-p}E(|X_k|^p).P(n≤ksup​∣Xn​∣≥λ)≤λ−pE(∣

1 鞅

2 Doob不等式（极大不等式）

设 k ≥ 1 k \geq 1 k≥1， ( X n ) n ≤ k (X_n)_{n \leq k} (Xn​)n≤k​ 为一鞅或非负下鞅，

对任何 λ > 0 \lambda > 0 λ>0 及 p ≥ 1 p \geq 1 p≥1 有
P ( sup ⁡ n ≤ k ∣ X n ∣ ≥ λ ) ≤ λ − p E ( ∣ X k ∣ p ) . P(\sup_{n \leq k} |X_n| \geq \lambda ) \leq \lambda^{-p} E(|X_k|^p). P(n≤ksup​∣Xn​∣≥λ)≤λ−pE(∣Xk​∣p).对任何 p > 1 p>1 p>1 有
∥ sup ⁡ n ≤ k X k ∥ ≤ p p − 1 ∥ X k ∥ p . \| \sup_{n \leq k}X_k \| \leq \frac{p}{p-1}\|X_k\|_p. ∥n≤ksup​Xk​∥≤p−1p​∥Xk​∥p​.

随机分析选讲(严加安)

3 Burkholder-Davis-Gundy不等式(BDG 不等式)

设 g ∈ L 2 ( R ) g \in L^2(R) g∈L2(R)， p > 0 p > 0 p>0，W_s为布朗运动，则
c p E [ ∫ 0 T ∣ g ( s ) ∣ 2 d s ] p 2 ≤ E [ sup ⁡ t ∈ [ 0 , T ] ∣ ∫ 0 t g ( s ) d W s ∣ p ] ≤ C p E [ ∫ 0 T ∣ g ( s ) ∣ 2 d s ] ] p 2 c_pE[\int_0^T |g(s)|^2 \mathrm{d}s \ ]^\frac{p}{2} \leq E[\sup_{t \in [0,T]} | \int_0^t g(s)\mathrm{d}W_s \ | ^p\ ] \leq C_p E[\int_0^T |g(s)|^2 \mathrm{d}s ] \ ]^\frac{p}{2} cp​E[∫0T​∣g(s)∣2ds]2p​≤E[t∈[0,T]sup​∣∫0t​g(s)dWs​∣p]≤Cp​E[∫0T​∣g(s)∣2ds]]2p​
其中
c p = { ( p 2 ) p , 0 < p < 2 1 , p = 2 ( 2 p ) − p / 2 , p > 2 c_p=\left\{ \begin{aligned} (\frac{p}{2}) ^p &,& 0< p < 2 \\ 1 &,& p = 2 \\ (2p)^{-p/2} &,& p > 2 \end{aligned} \right. cp​=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​(2p​)p1(2p)−p/2​,,,​0<p<2p=2p>2​
C p = { ( 32 p ) p , 0 < p < 2 4 , p = 2 [ p p + 1 2 ( p − 1 ) p − 1 ] p / 2 , p > 2 C_p=\left\{ \begin{aligned} (\frac{32}{p}) ^p &,& 0< p < 2 \\ 4 &,& p = 2 \\ [\frac{p^{p+1}}{2(p-1)^{p-1}}]^{p/2} &,& p > 2 \end{aligned} \right. Cp​=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(p32​)p4[2(p−1)p−1pp+1​]p/2​,,,​0<p<2p=2p>2​
注意到， C p ， c p C_p，c_p Cp​，cp​ 与 T T T 无关。

4 指数鞅不等式

设 g ∈ L 2 ( R ) g \in L^2(R) g∈L2(R)， ϵ > 0 ， δ > 0 \epsilon > 0，\delta > 0 ϵ>0，δ>0，则
P ( sup ⁡ t ∈ [ 0 , T ] [ ∫ 0 t g ( s ) d W s − δ 2 ∫ 0 t ∣ g ( s ) ∣ 2 d s ] ≥ ϵ ) ≤ e − δ ϵ . P\big(\sup_{t\in [0,T]}\big[ \int_0^t g(s) \mathrm{d}W_s – \frac \delta2 \int_0^t|g(s)|^2 \mathrm{d}s \big] \geq \epsilon \big) \leq e^{-\delta \epsilon}. P(t∈[0,T]sup​[∫0t​g(s)dWs​−2δ​∫0t​∣g(s)∣2ds]≥ϵ)≤e−δϵ.