信号与系统的描述-下节

• 一、信号的基本运算
• • 1. 信号的基本运算
  • • 1. 加法 、减法
    • 2. 乘法、除法
    • 3. 微分 、差分
    • 4.积分、迭分
  • 2. 关于时间（自变量）的运算
  • • 1. 位移
    • 2. 反折
    • 3. 尺度变换
• 二、阶跃信号与冲激信号
• • 1. 单位阶跃信号
  • 2. 单位阶跃信号的特性
  • 3. 单位冲激信号
  • 4. 单位冲激信号的性质
• 三、系统的特性及分类
• • 1. 系统的初始状态
  • 2. 线性特性
  • 3. 时不变特性
  • 4. 因果特性
  • 5. 稳定性

在真实的物理世界中，力、热、声、光、电等信号都可能携带了某种信息。我们需要使用数学抽象的方法来建立一套数学模型来作为我们对信号、系统进行描述，这其实就是一个数学建模的过程。人们把随时间变化或随空间变化的物理信号根据其特性用数学方式来描述，最基本的方法就是写出它的时域解析表示式（函数）或绘出函数的波形。
在信号与系统中，我们对于信号、系统的描述通常使用时间函数，也就是时域来描述、也可以运用时域方法来解决问题。但是我们在实际使用是发现时域的描述简单、但计算是非常复杂的，后面就需要采用频域、复频域、z域等变换方式来快速、简便的解决问题。那就需要引入频谱分析、各种正交变换以及其他方式来描述和研究信号。

• 这节信号、系统的描述都是建立在时域的基础上来叙述的。

本节的思路：

• 因为内容过多，分为两节，这里为下节 包含 信号基本运算、阶跃信号和冲激信号、系统特性及分类
  参考上节内容：
• 信号与系统的描述-上节

一、信号的基本运算

这里涉及到对信号的基本处理，很简单的，里面根据信号的不同，主要是离散和随机信号。

1. 信号的基本运算

1. 加法 、减法

对信号进行加法运算，是将两信号在同一时刻的函数值相加。
减法和加法是一样的，减法是特殊的加法而已。

2. 乘法、除法

对信号进行乘法运算与相加运算相似，是将两信号在同一时刻的函数值相乘。离散信号的相加、相乘运算的示例。相加、相乘运算均是针对同一时刻点的幅值。
除法和乘法一样，除法是特殊的乘法而已。

3. 微分 、差分

1、微分是对连续信号

• 设 f (t)是连续时间信号，则 f (t)对时间 t 的导数
  
  连续时间信号在所有不可导的点都是不连续的。特别是分段连续信号不是在所有的点都是可导的。

2、差分是对离散信号

• 一阶前向差分
  
• 一阶后向差分
  
• 高阶前向差分
  
• 高阶后向差分
  

4.积分、迭分

1、积分是对连续信号

• 设 f (t)是连续时间信号，则 f (t)对时间 t 的积分
  

2、迭分是对离散信号

• 迭分运算实际上是一个求累加的过程。
  

2. 关于时间（自变量）的运算

针对信号的自变量主要有三种运算：位移、反折、尺度变换。

1. 位移

信号 f (t)经过加工后输出的波形形状没有发生改变，与原始信号 f (t)相比仅仅是延迟了 t0 时间单位（设 t0 > 0），则延迟后的信号可表示为 f(t -t0 ) ，其波形相当于将 f (t)的波形沿着时间 t 轴向右水平移动了 t0 个时间单位。f (t + t0 ) 的波形则相当于把 f (t)的波形沿着时间 t 轴向左水平移动了 t0 个时间单位。

• 左加右减 原则

例题

3. 时不变特性

参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。
f (●) → yf (●)
对连续系统有
f (t - td) → yf(t - td)
对离散系统
f (k- kd) → yf(k - kd)

例题

图像

实际的系统设计和分析中最常用的系统类型为 线性时不变系统。
如果一个系统既是线性的，也是时不变的，那么称这个系统为线性时不变（LinearTime Invariant）系统，简称 LTI 系统。

4. 因果特性

这个很好判断，如果任意时刻 t1 时输入 f (t1)的响应 y(t1) 都不依赖于 t > t1 时 f (t)的值，则称该系统是因果的或非超前的。这样，在因果系统里，不可能在输入加入系统前而获得输出（假设系统是零状态的）。 如果系统不是因果的，就称为非因果的或超前的。

例题

总结：

• 时间是因果信号判别的重要指标，不能响应的时间不能超过信号的结果

像阶跃信号就是典型的因果信号

5. 稳定性

一个系统，如果它对任何有界的激励 f (●) 所产生的零状态响应 yf(●)  亦为有界的，就称该系统为有界输入/有界输出（Bound-input/Bound-output）稳定，简称BIBO 稳定，有时也称系统是零状态稳定的。例如电路系统等，都是稳定系统，因为不可能存在输出无限增大的情况。例如一个电子扩音器，可以实现对声音的放大，但这个放大不能是无限的，即当把人的声音看做输入（显然这个输入是有限的），则扩音器的声音就是系统的输出，这个输出也是有限的，所以是一个稳定系统。

总结：

• 有界输入 对应 有界输出 则稳定

参考上节内容：

• 信号与系统的描述-上节