上面那个网图，我借用说明下。

首先声明一点：格林公式只对单连通区域生效。

但是如何求复连通区域的 ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \iint_D(\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})dxdy ∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy ?

切割成两个单连通区域，然后对两个单连通区域分别使用格林公式。

∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∬ D 1 ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y + ∬ D 2 ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ C 1 + C 2 P d x + Q d y \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy= \iint_{D_1} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy +\iint_{D_2} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy = \oint_{C_1+C_2}Pdx+Qdy ∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∬D1​​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy+∬D2​​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∮C1​+C2​​Pdx+Qdy

因为红色部分抵消。加入只剩下内部的顺时针线l和外部的逆时针线L.

则复连通区域下格林公式为：
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L ( P d x + Q d y ) − ∮ l ( P d x + Q d y ) \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy= \oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy) ∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=∮L​(Pdx+Qdy)−∮l​(Pdx+Qdy)
其中 L , l L,l L,l都是逆时针线。

那么如果理解同济七版p208的例题4.

那个题首先：

∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y → ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = 0 \frac {\partial Q} {\partial x} = \frac {\partial P} {\partial y} \to \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy =0 ∂x∂Q​=∂y∂P​→∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy=0

进而推出：

∮ L ( P d x + Q d y ) − ∮ l ( P d x + Q d y ) = 0 → ∮ L ( P d x + Q d y ) = ∮ l ( P d x + Q d y ) \oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy) =0 \to \oint_L(Pdx+Qdy) = \oint_l (Pdx+Qdy) ∮L​(Pdx+Qdy)−∮l​(Pdx+Qdy)=0→∮L​(Pdx+Qdy)=∮l​(Pdx+Qdy)