这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。

常用离散分布

二项分布（Binomial Distribution）

记

为 重伯努利试验中成功的事件（记为 ）的次数，则 服从二项分布。记 为事件 发生的概率， 的分布列为：

记

符号“~”读作“服从于”，该记号表示随机变量

服从参数为 的二项分布。

容易想到，二项概率恰好是二项式

的展开式的第 项，这也是“二项分布”的名称的由来。 二项分布线条图

应用举例：

设射手命中率为 ，则射击 次，命中的次数 .

已知人群中色盲率为 ，在人群中随机调查50个人，则其中色盲患者 .

某药品的有效率为 ，今有 人服用，则服药有效的人数 .

……

数学期望：
方差：

两点分布（Bernoulli Distribution）

是一种当

时的特殊的二项分布，又名 0-1分布， 伯努利分布，用来描述一次伯努利试验中成功的次数 。 服从两点分布，分布列为：

或表示为：

其中

为事件成功的概率。

应用举例：

小明投篮命中率为 ，投篮一次，其命中的次数

彩票中奖率为 ，小明购买一张彩票，其中奖的次数

不会做的单项选择题做对的概率为 ，随机选择一个选项，做对的次数

……

两点分布是特殊的二项分布，在二项分布数学期望和方差的公式中取

得到两点分布： 数学期望：
方差：

二项分布与两点分布的关系：若有一列独立同分布于

的随机变量序列 ，则其和：

这个结论表明两点分布具有可加性，且对于服从

的随机变量 ，可看做由 个独立同分布于 的随机变量 的和。

上述“独立同分布”、“可加性”的概念，见：coffee：多维随机变量函数的分布

泊松分布（Poisson Distribution）

分布列：

记

。常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系。 泊松分布线条图

应用举例：

某时间段内，来到某商场的顾客数

单位时间内，某网站的点击量

一平方米内玻璃上的气泡数

……

数学期望：
方差：

这里数学期望为

是指 的均值为 。譬如对于应用举例1.，某段时间内，来到某商场的顾客数平均而言是 。其他的应用类似。

超几何分布（Hypergeometric Distibution）

设有

件产品，其中有 件不合格品。若从中不放回地随机抽取 件，则其中含有的不合格品的件数 服从超几何分布，分布列为：

记为

.其中 ，且 均为正整数。

应用举例：从有10件不合格品的100件产品中随机抽取5件，则抽取的产品中不合格品数

。 数学期望：
方差：

几何分布（Geometric Distribution）

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件

发生的概率为 ,如果 为事件 首次出现时的试验次数，则 。 服从几何分布，分布列为：

记作

。

应用举例：

某产品的不合格率为 ，首次查到不合格品的检查次数

某射手的命中率为 ，首次命中的射击次数

掷一颗骰子，首次出现六点的投掷次数

……

数学期望：
方差：

几何分布的无记忆性：

设

，对任意正整数 ，有：

该性质表明，在前

次试验中 没有出现的条件下，则在接下去的 次试验中 仍未出现的概率只与 有关，而与以前的 次试验无关，似乎忘记了前 次试验结果，这就是 无记忆性。

负二项分布（Negative Binomial Distribution）

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件

发生的概率为 ，如果 为事件 第 次出现时的试验次数，则 的可能取值为 ，称X服从 负二项分布或 巴斯卡分布，其分布列为：

记作：

，当 时即为几何分布，即 几何分布是特殊的负二项分布。从二项分布和负二项分布的定义中看出，二项分布是伯努利试验次数 固定，事件 成功的次数 在 中取值；而负二项分布是事件 成功的次数 固定，伯努利实验次数 在 中取值，可见负二项分布的“负”字的由来。

应用举例：

某产品的不合格率为 ，产品总数大于5，查到第5件不合格品时，检查次数

某射手的命中率为 ，第十次命中的射击次数

掷一颗骰子，第三次出现六点时，投掷次数

……

数学期望：
方差：

从负二项分布和几何分布的数学期望和方差的关系可知，类比二项分布与两点分布的关系，可以得到下面的结论：

若有一列独立同分布于

的随机变量序列 ，则其和：

这并不是说明几何分布具有可加性，因为可加性要求服从该类分布的随机变量的和仍服从该类分布，但是服从几何分布的随机变量的和服从负二项分布，这个概念要特别注意。上述结论只能说明对于服从

的随机变量 ，可看做由 个独立同分布于 的随机变量 的和。

常用连续分布

正态分布

若随机变量

的密度函数为：

则称

服从正态分布，称 为正态变量。记 。其中 为 位置参数，用于控制曲线在 轴上的位置； 为 尺度参数，用于控制曲线的形状。

分布函数：

密度函数及分布函数 不同参数的正态分布图像 数学期望：
方差：

称

时的正态分布为 标准正态分布，其密度函数和分布函数分别为：

任何一个正态变量均可以通过标准化转化为标准正态变量，即若

，则：

其中

为标准正态变量。

下面不加证明地给出一些常用性质：

若

：

若

：

其他的类似。

正态分布常用的

原则：

均匀分布

若随机变量

的密度函数为：

称

服从区间 上的均匀分布，记作 ，其分布函数： 密度函数及分布函数

均匀分布又称作平顶分布（因其概率密度为常值函数）。

数学期望：
方差：

指数分布

若随机变量

的密度函数为：

则称

服从参数为 的指数分布，记作 。指数分布的分布函数为： 密度函数

指数分布是一种偏态分布，指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布，譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。

数学期望：
方差：

指数分布的无记忆性

若随机变量

，则对任意的 ，有：

证明：

因为

，所以 。又因为

由条件概率可得：

证毕。

该式的含义为：记

是某种产品的使用寿命 ，若 服从指数分布，那么已知此产品使用了 没发生故障，则再能使用 而不发生故障的概率与已使用的 无关，只相当于重新开始使用 的概率，即对已使用过的 没有记忆。

伽玛分布

先引入伽玛函数：

其中参数

。伽玛函数具有下列性质：

当

为自然数 时：

伽玛分布：

若随机变量

的密度函数为：

称X

服从伽玛分布，记作 。其中 为形状参数， 为尺度参数。 密度函数 数学期望：
方差：

伽玛函数的特例：

时的伽玛分布为指数分布：

2.称

的伽玛分布为自由度为 的 （卡方）分布，记作 ：

因卡方分布是特殊的伽玛分布，故不难求得卡方分布的：

数学期望：
方差：

卡方分布的唯一参数

称为它的自由度，具体含义在之后的数理统计中会给出。

贝塔分布

先给出贝塔函数：

其中参数

。贝塔函数具有以下性质：

1.

2.贝塔函数与伽玛函数有如下关系：

贝塔分布：

若随机变量

的密度函数为：

则称

服从贝塔分布，记作 ，其中 都是 形状参数。 密度函数 数学期望：
方差：

总结

常用概率分布及其数学期望与方差