一、行列式（数）

1.性质(对行、列都成立)

1.转置值不变2.互换两行，值变号3.两行元素完全相同，值为04.行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，D不变。5.某一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和=06.用数k乘"某一行"==>kD;行列式整体提k,相当于把k^n提出来7.若某一行元素是两数之和，则行列式可以拆成两个行列式的和8.克莱姆法则(前提:n个方程组 n个未知数 ):D!=0,有唯一解，D==0，有非零解

2.行列式的计算

（1）对角线法则

1.适用范围:1-3阶行列式

（2）展开公式

0）使用技巧

(1) 4阶以上(2) 多化0好展开

1）背景知识

余子式M 与 代数余子式A

想到展开公式、M、A的概念以及A*

2）按行展开定理定义

D = 某一行的所有元素a与其对应A(代数余子式)乘积之和

3）展开公式推论

某一行所有元素与另一行相应元素的A(代数余子式)的乘积之和 == 0

（3）公式运算（>展开）

图片1

3为拉普拉斯公式

1.拉普拉斯 例题

2.范德蒙德 证明

//复习全书P148例题8"(归纳法)" : 对Dn,从第n行开始，依次把上一行的 -x1 倍加到下一行

范德蒙德 例题

（4）爪形（不看对角线）（未完待续）

例题

♥技巧1

每一行 + 到第一行 ==> 提公因数 ==> 化上下三角

♥技巧2

"第一行的-1倍" 分别 加到其他各行 ==> "得到爪形" ==> 每一列都加到第一列 ==> 化上下三角

技巧3

从倒数第二行开始，依次把上一行的-1倍加到下一行；然后把各列都加到第一列，按第一列展开

爪形例题

"第一行的-1倍" 分别 加到其他各行 ==> "化为爪形" ==> 通过 "列变换" ==> 化为上下三角

特征值（未完待续）

（5）求特征值的题

♥技巧

遮掉主对角线的元素，观察其余元素，找出那两个数（要么同行要么同列，化的时候看这两行或者两列看看能不能出公因数就行）加加减减化为0的同时可以化出未知数的公因数

3.克拉默法则（证明题）

"前提条件"：n个方程组，n个未知数"推论："D ！= 0 ==> 方程组有唯一解==>x1=D1/Dx2=D2/D x3=D3/D.....1.齐次方程组 D==0 ==> 有非零解,非满秩2.齐次方程组D!=0 ==> 只有唯一零解，满秩

二、矩阵（表格）

1. 运算

1.加法："同型矩阵"2.数乘：(1).kA = [kaij]"每一个元素都乘k"，与行列式区分开来3.矩阵相乘："外型内同"(1)AB != BA ==>没有交换律(2)AB = 0 "推不出" A=0 或者 B=0 (3)AB = AC, A!=0 "推不出" B == C ==> 没有消去律

2.转置运算法则

3.对角矩阵 ^

//前提：一定时N阶矩阵

4. n维列向量

♥一见到 "行在前列在后"的就想到一定藏有"数",特别是展开的时候，有数就可以提出来 ♥.123是矩阵 456是数♥.2是1的转置♥.3是对称矩阵，代表对称矩阵♥.6是列矩阵元素平方和，>=0♥.4和5相等，其值是1(2)主对角线元素之和,也叫矩阵的迹

5.伴随矩阵

♥♥♥重要公式

6.可逆矩阵（N阶）

1.定义：AB = BA = E2.♥定理♥(1)如果A可逆 ==> A逆唯一，记作 A-"推论" : A、B是N阶矩阵，如果AB = E，则 A- = B==> 这个推论告诉我们，只要证明AB=E就能直接推出A的逆 == B(2)A可逆 <==>|A|!=0(3)可逆矩阵 ==> 满秩,线性无关，特征值全不为0

性质公式

定理(1)的证明

♥做题技巧

看看这里"加E"的变形

7.可逆矩阵的求法

1.定义法 AB = BA = E2.用伴随矩阵 A- = 1/|A|A*2阶最好，3阶也行3.初等行变换(A|E) -> 把A化为E 4.分块矩阵

8.初等变换、初等矩阵、等价矩阵

//左乘行变换，右乘列变换初等矩阵:经"一次"初等变换得到的矩阵 ，初等矩阵均可逆，且其逆是同一类型的矩阵矩阵等价： A经有限次初等变换得到的矩阵B, A 等价 B ==> r(A)==r(B)

求初等矩阵的逆矩阵

9.分块矩阵（重要技巧）

1.运算

例题要按行还是按列得看乘法规则,内同（前列 == 后行）

2.按列分块

//C的列向量可由A的列向量线性表出

3.按行分块

//C的行向量可由B的行向量线性表出

这里搞不懂

4.把问题变为方程组问题

如AB=C

例题

10.方阵的行列式

公式

"3公式"前提条件：AB都是n阶方阵 "4公式"重要 "7公式"A与B相似

例题

题型

♥♥♥♥♥只能行变换♥♥♥♥♥

思想与技巧

1.相同系数矩阵不同常数项的可以合并做 2.见到nn型就想到|A|==0

三、线性表出和相关无关

1.求线性表出（非齐次 ==> TUV）

线性表出：向量组b可以由a1,a2..am"线性表出" <==>非齐次方程组"有解""线性表出求法" 1.题目给出具体坐标，用下面定理，问能不能线性表出 ==> 非齐次方程组有没有解 ==> r(A) =!= r(A增广)"三种情况"1.表出唯一，r(A) == r(A增广) == n2.表出无穷，r(A) == r(A增广) < n3.不能表出，r(A)+1 == r(A增广) ============================================================================================================ "非齐次方程组有解判定":r(A) = r(A增广)//三种解：1.无解 r(A) != r(A增广)或 r(A)+1 == r(A增广)2.唯一解 r(A) == r(A增广)= n3.有无穷解r(A) == r(A增广)<n"解的结构":特解 + 通解（基础解系） //（答案不唯一）或者用TUV方法化到T型阵 ==>判断有无解化为行最简 ==> 求解:特解 + 通解（基础解系）

例题

抽象题（强化班见）

2.求线性相关(齐次)

//线性相关： 存在一组不全为0的k1k2,...,kn,使得k1a1+k2a2+...+knan = 0 <==>线性相关 ==>齐次方程组有"非零解"，不满秩 "线性相关的求法"所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解 定理"线性相关" ==> r(A) < n <==> AmnX=0有非零解 (1)当n个n维 当|A| = 0 （★★不满秩==>不可逆★★ 有非零解） ==> r(A) < n ==> 线性相关(2)不是n个n维==> r(A) < n (n为向量的个数) 推论m<n时 ==> 必有非零解==>相关 ============================================================================================================ "齐次方程组的求法"所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解"基础解系" "定理:n-r(A),即基础解系里的向量个数为n-r(A)//TUV方法（目标是求线性表出和向量和矩阵问题，求方程组的解一般使用解的结构）♥步骤♥ 0.先化为行最简 1.解的结构：通解 = 特解 + 基础解系(齐次，右边全为0) 2.TUV(适用于本意不是解方程组，而是为了得到"向量的线性表出"、"矩阵"==> 直接令自由变量==t)

简单向量

(1)显然含有"零向量"，"相等向量"或"成比例向量"的向量组 ==> 线性相关 (2)单个向量为"零向量" ==> 线性相关 (3)两个向量时，"成比例时" ==> 线性相关

复杂向量

r(A)<n 或者 |A| == 0 ==>线性相关

例题

3.线性表出与相关无关的定理

"定理：" 2.(不太明白)任何部分组相关 ==> 整体组相关，整体组无关 ==> 任何部分组无关，反之都不成立 3.(不太明白)a1,a2,...,am线性无关 ==> 延申组线性无关，延申组线性相关 ==> 缩短组a1,a2...am线性相关，反之不成立 4.向量组a1,a2...as(s>=2)线性相关 <==> 至少有一个向量ai可以由其他向量线性表出 5.若向量组a1,a2...as线性无关，而向量组a1,a2...as,b线性相关，则b可由a1,a2...as线性表出，且表出法唯一。 6.如果a1a2...as可由b1b2...bt线性表出，且s>t，则a1a2...as必线性相关。 推论：（用于判断两个向量组的个数谁大谁小） 如果a1a2...as线性无关，且a1a2...as可由b1b2...bt线性表出，则s<=t 7.线性表出有传递性

定理4的证明

//不一定是a1可由其他向量线性表出，但是一定存在ai可以被其他向量线性表出

定理5的证明

定理6例题

判断这个向量组b {a1+a2 , 3a1-5a2 , 4a1+7a2} 是否线性相关？【解】： 必定线性相关,因为b1,b2,b3均可以由a1,a2线性表出,且b的个数 > a的个数 ，即3>2 ==>b1b2b3线性相关 //s为a1a2...as中向量的个数//t为b1b2...bt中向量的个数白话：多数向量可以用少数向量表出，多数向量一定线性相关

线性表出具有传递性

4.证线性组无关例题

5.向量组的秩

极大无关组的个数 == 向量组的秩

向量组极大无关组（等价于 方程组的基础解系）

(1)线性无关(2)任意ai 可由无关组线性表出

定理及其证明

一个向量组中各极大无关组的向量个数相等

求极大无关组（列摆行变换）

6.矩阵的秩（难点）

矩阵的秩：A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A) r(A)=a <==> A中有a阶子式不为0，而所有a+1阶子式（若有）全为0 r(A)<a <==> A中a阶子式全为0 r(A)>=a <==>A中存在a阶子式不为0 A!=0 <==> r(A)>=1 A-n阶 r(A)=n <==> |A|!=0 <==> A可逆

矩阵秩的公式

求矩阵的秩的题

方法：经过初等变换，矩阵的秩不变 看到|A| != 0 ==> A可逆，就可以用公式

四、线性方程组

1.解方程组的两种方法

1.解的结构(单纯解方程组)：通解 = 特解 + 基础解系(齐次，右边全为0) 2.TUV(适用于把方程组的解写成向量的结构，得到"向量"、"矩阵"==> 直接令自由变量==t)

2.解的性质

(1)如果a1,a2是Ax=0("齐次")的解，则k1a1+k2a2仍是Ax=0("齐次")的解 (2)如果a1,a2是Ax=b("非齐次")的解，则a1-a2是Ax=0("齐次")的解 因为：Aa1=b (1)Aa2=b(2)(1)-(2) ==>A(a1-a2)=0 (3)如果a是Ax=b的解，n是Ax=0的解，则a+n是Ax=b的解 因为：Aa=b (1)An=0 (2)(1)+(2) ==>A(a+n)=b

3.齐次求法（相关无关）

"齐次方程组的求法"所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解 ==> 求"基础解系" "定理:n-r(A),即基础解系里的向量个数为n-r(A)//TUV方法（目标是求线性表出和向量和矩阵问题，求方程组的解一般使用解的结构）♥步骤♥ 0.先化为行最简 1.解的结构：通解 = 特解 + 基础解系(齐次，右边全为0) 2.TUV(适用于本意不是解方程组，而是为了得到"向量的线性表出"、"矩阵"==> 直接令自由变量==t) //基础解系就是极大无关组 极大无关组和基础解系不唯一 (1)线性无关 (2)任意ai 可由无关组线性表出 ============================================================================================================ //线性相关： 存在一组不全为0的k1k2,...,kn,使得k1a1+k2a2+...+knan = 0 <==>线性相关 ==>齐次方程组有"非零解"，不满秩 "线性相关的求法"所有齐次方程组 ==> 至少有一个零解 定理"线性相关" ==> r(A) < n <==> AmnX=0有非零解 (1)当n个n维 当|A| = 0 （★★不满秩==>不可逆★★ 有非零解） ==> r(A) < n ==> 线性相关(2)不是n个n维==> r(A) < n (n为向量的个数) 推论m<n时 ==> 必有非零解==>相关

求基础解系例题（原则：回避分数）

做题技巧

其他类型的例题

给出基础解系，求齐次方程组

4.非齐次线性方程组

"非齐次有解判定":r(A) = r(A增广) //三种解： 1.无解 r(A) != r(A增广)或 r(A)+1 == r(A增广) 2.唯一解 r(A) == r(A增广)= n 3.有无穷解r(A) == r(A增广)<n"解的结构":特解 + 通解（基础解系） //（答案不唯一）或者用TUV方法 化到T型阵 ==>判断有无解化为行最简 ==> 求解:特解 + 通解（基础解系） ============================================================================================================ "线性表出求法" 1.题目给出具体坐标，用下面定理，问能不能线性表出 ==> 非齐次方程组有没有解 ==> r(A) =!= r(A增广) "三种情况" 1.表出唯一，r(A) == r(A增广) == n 2.表出无穷，r(A) == r(A增广) < n 3.不能表出，r(A)+1 == r(A增广)

例题

(1)先化梯形阵再讨论，有参数放下面，讨论参数值时后面顺便说有无解，再把梯形化为行最简 (2)遇到爪型讨论后可以直接化为1；

5.方程组的应用

例题

五、(A是n阶矩阵）特征值、特征向量

1.求特征值和特征向量

"定义" 设A是"n阶"矩阵，α 是 n维"非零"列向量 ==> A α = λ α， "(α != 0)" 则称 λ 是矩阵A的特征值，α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量。 ==> (λE - A)α = 0 ==> α是齐次方程组 (λE - A)x =0 的非零解 (1)由|λE - A|=0 求特征值λ；(2)对(λiE-A)x=0求基础解系，即求特征向量 "定理" (1)对于同一个特征值λ下的特征向量α1，α2,当k1α1 + k2α2 != 0时（因为特征向量本来就不可以等于0）， k1α1 + k2α2仍是A关于λ的特征向量。 (2)如果λ1、λ2是不同的特征值，则对应的特征值α1、α2必线性无关 如果是实对称矩阵，不同特征值所对应的特征向量相互正交。 (3)∑ λi == ∑aii (特征值的和 == 迹);|A| = ∏ λi

求 λ（|λE-A| = …）、α 步骤

(1)求 λ ==> "化0且成比例" (2)求 α ==>由于|A|==0 ==> 可以把任一行直接为0，因为|A|==0,不满秩 //一、当A是具体矩阵时（例1） 步骤:1.由A的"特征多项式" |λE-A| = ... ==> 求出 λ1 λ2... "（求特征值==>寻找++--得零且成比例）" 2.带入矩阵（λE-A）x = 0 求得基础解系 ..... "k1 k2 不全为0" 特征值是重跟时，若有n重根个线性无关的特征向量 ==> 可以相似对角化，否则不可以相似对角化 //二、抽象矩阵时（例二） 步骤:1.设Aα = λα ( α!=0 ) 2.带入矩阵（λE-A）x = 0 求得基础解系 ..... "k1 k2 不全为0" 特征值是重跟时，若有n重根个线性无关的特征向量 ==> 可以相似对角化，否则不可以相似对角化 //三 给出α，求未知值时，使用 Aα = λα ( α!=0 )，因为|λE-A| = ...主要是求特征值λ的

例题1

2.特征值的公式

1.(A+kE)α = (λ+k)α 如A : 1,3,-2 A-E : 0,2,-3 A+3E: 4,6,1 2.A²α = λ²αα!=0

例题2

例3

3.相似矩阵

---"定义"设A、B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使 P(逆)AP = B,称 A~B --- "性质" A~A ,P为E A~B ==> B~A A~B 、 B~C ==> A~C --- "A~B的定理：" (1) A~B ==> 相同的特征多项式 |λE-A| ==> 特征值相同 即 |λE-A| = |λE-B| = λA = λB (2) A~B ==> r(A) = r(B) (3) A~B ==> |A| = |B| (4) A~B ==> ∑ aii == ∑bii (特征值的和相同，等于迹);(5) A~B ==>A² ~ B² (6) A~B ==> A+kE ~ B+kE(7) A~B 且 A可逆 ==> B亦可逆 ==> A(逆) ~ B(逆)

例题

定理证明

4.相似对角化(n个无关特征向量)

如果n阶矩阵A~^,则称A可以相似对角化 P(逆)AP=^ "特征值" ==> "对角矩阵"，"特征向量" ==> "可逆矩阵P" "定理" (1) A~^ <==> A有n个线性无关的"特征向量"==> 特征向量代表可逆矩阵P//不是所有的A矩阵都和对角矩阵相似 推论：如果A有n个不同的"特征值" ==> A~^ (2) A~^ <==> λ是A的k重"特征值"，则λ有k个线性无关的"特征向量"，反正n阶矩阵A要保证有n个线性无关的特征向量,保证可逆矩阵p（特征向量）可逆

5.相似对角化（求可逆矩阵P）的步骤

1.求特征值(特征多项式和定义法)：λ1 λ2 λ3 ( 可以有重跟 ) == 求 ^ 2.求特征向量 α1 α2 α3 == 求 P 3.构造"可逆矩阵" P=(α1 α2 α3) 令P=(α1 α2 α3) 则P(逆)AP = ^ = [特征值] 可逆矩阵P = 线性无关的特征向量

例题

6.向量的内积

"向量内积" (a,b) = a1b1+...+anbn"向量正交" (a,b) = 0 ,称a与b正交"向量长度" (a,a) = a1² + a2² + ... + an²,根号下(a,a)为向量a的长度,记为 ||a||

向量内积性质

7.正交矩阵的定义

A-n阶，若 AA(转置) = A(转置)A = E,则称A是正交矩阵A是正交矩阵 <==> A(转置) = A(逆) ★★★ <==> A的列向量都是单位向量且两两正交<==> |A| = 1 or -1 , 因为 AAT = E => |AAT| = |E| => |A|*|AT| = 1 => |A| = +-1

8.★★★实对称矩阵★★★

(1)一定可以相似对角化(2)"特征值"不同"特征向量"相互正交(3)可以用"正交矩阵Q"相似对角化"定理"(1)实对称矩阵一定和 ^相似(2)实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交(3)实对称矩阵必存在正交矩阵Q，使Q(逆)AQ = Q(T)AQ = ^

实对称矩阵的例题

9、相似对角化（求正交矩阵Q）的步骤

使 Q(逆)AQ = Q(T)AQ = ^1.求特征值(特征多项式和定义法)：λ1 λ2 λ3 == 求 ^2.求特征向量 α1 α2 α3 == 求 P3.改特征向量为 r1 r2 r3(1)如果特征值不同（==>特征向量相互正交），只需单位化(2)若特征值有重根1.如果特征向量已经正交，只需单位化2.如果特征向量不正交，需Schmidt正交化（强化班）4.改造"正交矩阵" Q=(r1,r2,r3)Q(-)AQ = ^ = [特征值]

例题

不会的题：

p192 (1)、(3)

六、二次型

概念

1.二次矩阵A为实对称矩阵AT == A2.写出二次矩阵A：对角线为平方项系数，其他折半按位放。3.标准型：只有平方项，没有混合项(1)规范型：平方项只能是 1 -1 0(前提是标准型)★★★ 先化标准型再化成规范型(2)正惯性指数，负惯性指数 p q (前提是标准型)4.二次型的秩 r(f) ==> 二次矩阵A的秩 r(A)5.坐标变换: x=Cy==> ★★★ C!=0 ，C可逆6.合同（来源于坐标变换） 性质：(1)A与A合同(2)A与B合同 <==>B与A合同(3)合同具有传递性(4)★★★pA = pB;qA = qB;一个矩阵可以和多个矩阵合同，看你怎么选可逆矩阵c,看两个矩阵是否合同可以看惯性指数是否相等```## 二次型的定理```java1.对任意二次型 f = xTAx,都能通过"配方法 x = Cy (C可逆)" 化为 标准型 ==> 进而化为 规范型2.1.对任意二次型 f = xTAx,都能通过正交变换x = Qy,使f化为标准型

配方法例题一

一个一个配，不着急

例题二，没有平方项自己凑

正交变换法

二次型通过坐标变换得到的标准型的"平方项系数"就是特征值求"坐标变换"就是求A的特征向量

例题

正定二次型